Dado o número complexo $z=3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\,\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\right)$, em que $i$ é a unidade imaginária, marque a alternativa que indica a potência $z^{4}$.
-
A)
$27(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$
-
B)
$\sqrt[4]{3}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})$
-
C)
$81(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$
-
D)
$\sqrt[4]{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})$
-
E)
$81(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})$
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Gabarito: alternativa C
Pela 1ª fórmula de De Moivre, $z^4 = 3^4\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\,\operatorname{sen}\frac{4\pi}{3}\right) = 81\left(\cos 240^\circ + i\,\operatorname{sen}240^\circ\right)$. Como $\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}$ e $\operatorname{sen}240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, temos $z^4 = 81\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Primeira fórmula de De Moivre (potenciação de número complexo na forma trigonométrica)
Sejam $a\in\mathbb{Z}$ e $n\in\mathbb{N}$. Sabendo que no desenvolvimento de $(x+a)^{n}$, o terceiro termo é igual a $60x^{4}$ e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de $a^{2}+2n$.
-
A)
13
-
B)
15
-
C)
16
-
D)
21
-
E)
37
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Gabarito: alternativa C
A soma de todos os coeficientes binomiais de $(x+a)^n$ é $2^n$; logo $2^n=64$ dá $n=6$. O terceiro termo é $\binom{6}{2}x^{6-2}a^2 = 15x^4a^2 = 60x^4$, de onde $a^2=4$. Assim $a^2+2n = 4 + 2\cdot 6 = 16$.
Binômio de Newton — termo geral e soma dos coeficientes binomiais ($\sum \binom{n}{k}=2^n$)
Observe o polinômio abaixo:
$$p(x)=(x^{3}+2x^{2}+3x-3)^{n^{2}}\cdot(x^{2}+x+1)^{n}$$
Qual o valor do número natural $n$ para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
-
A)
1
-
B)
2
-
C)
4
-
D)
5
-
E)
7
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Gabarito: alternativa B
A soma dos coeficientes de um polinômio é $p(1)$. Assim $p(1) = (1+2+3-3)^{n^2}\cdot(1+1+1)^n = 3^{n^2}\cdot 3^n = 3^{n^2+n}$. Como $729 = 3^6$, temos $n^2+n = 6$, ou seja $n^2+n-6=0$, cujas raízes são $n=2$ e $n=-3$. Sendo $n$ natural, $n=2$.
Soma dos coeficientes de um polinômio ($p(1)$) e equação do 2º grau
Uruguaiana – RS, região de fronteira do Brasil com a Argentina. Devido à sua localização geográfica, é comum que seus integrantes sejam habilitados em outros idiomas. Em um levantamento feito pelo subtenente Cleber, entre os 120 militares da 1ª Bia O, 50 são habilitados no idioma Inglês, 65 no idioma Espanhol e 20 não são habilitados nem em Inglês e nem em Espanhol. Sorteando aleatoriamente um destes militares, qual a probabilidade de se selecionar alguém habilitado em ambos os idiomas?
-
A)
0,1
-
B)
0,125
-
C)
0,15
-
D)
0,175
-
E)
0,2
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Gabarito: alternativa B
Se 20 não são habilitados em nenhum idioma, então $120-20 = 100$ são habilitados em pelo menos um. Pelo princípio da inclusão-exclusão, $|I\cup E| = |I| + |E| - |I\cap E|$, logo $100 = 50 + 65 - |I\cap E|$, dando $|I\cap E| = 15$. A probabilidade é $\frac{15}{120} = 0,125$.
Princípio da inclusão-exclusão e definição clássica de probabilidade
I- Se duas retas de um plano, distintas e concorrentes, são paralelas a outro plano, então os dois planos são paralelos entre si.
II- Se um sistema linear é classificado como possível e indeterminado, então as retas que o constituem são ditas coincidentes.
III- Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas.
IV- Quando uma reta é perpendicular a um plano, todos os planos que a contêm são perpendiculares a este plano.
V- Projeção ortogonal de um segmento sobre um plano: pode ser um segmento ou um ponto.
Marque a alternativa correta:
-
A)
Apenas os itens I, II e V são verdadeiros.
-
B)
Apenas os itens II e V são falsos.
-
C)
Os itens III, IV e V não são verdadeiros.
-
D)
Todos os itens são verdadeiros.
-
E)
Apenas o item I é verdadeiro.
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Gabarito: alternativa D
Todos os itens são verdadeiros. I é o teorema do paralelismo entre planos (duas retas concorrentes de um plano paralelas a outro plano garantem que os planos sejam paralelos). II: um sistema de duas equações possível e indeterminado (infinitas soluções) representa retas coincidentes. III é a própria definição de retas coplanares. IV: se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer plano que a contenha é perpendicular a esse plano. V: a projeção ortogonal de um segmento é um ponto (quando o segmento é perpendicular ao plano) ou um segmento (nos demais casos).
Geometria de posição — paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos
Uma das atividades previstas para comemorar o aniversário da ESA foi uma competição de tiro. Essa competição consistia em lançar um alvo móvel e o atirador efetuar um disparo para tentar acertá-lo. Em uma das rodadas, a trajetória do alvo foi dada por $f(t)=-\frac{2}{9}t^{2}+\frac{4}{3}t$, em que $t$ é o tempo, em segundos, após o disparo. A altura do alvo é representada, em km, por $f(t)$. Após um segundo, e do mesmo local de onde o alvo foi lançado, o atirador inclinou sua arma $45^{\circ}$, realizou um disparo retilíneo e acertou o alvo. Qual a altura do alvo quando ele foi atingido?
-
A)
1,6 km
-
B)
1,7 km
-
C)
1,8 km
-
D)
1,9 km
-
E)
2,0 km
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Gabarito: alternativa E
O disparo a $45^{\circ}$ é uma reta de coeficiente angular 1; como ocorre um segundo após o lançamento (deslocamento horizontal de 1), sua equação é $y=x-1$. Igualando à trajetória do alvo, $x-1=-\frac{2}{9}x^{2}+\frac{4}{3}x$, obtém-se $2x^{2}-3x-9=0$, cujas raízes são $x=3$ e $x=-\frac{3}{2}$. Para $x=3$ (que é justamente o vértice da parábola), a altura é $f(3)=-\frac{2}{9}\cdot9+\frac{4}{3}\cdot3=-2+4=2{,}0$ km.
Função quadrática — vértice/altura máxima e interseção reta-parábola
O Batalhão de Comando e Serviços da ESA é composto por $n$ homens e $m$ mulheres e foi acionado para uma operação no centro da cidade de Três Corações - MG. O Comandante do Batalhão deve formar um grupamento com $r$ militares, $r\le n$ e $r\le m$. Assim, o número de grupamentos que podem ser formados é dado por:
-
A)
$\sum_{k=0}^{r}\binom{n}{k}\binom{m}{r-k}$
-
B)
$\sum_{k=0}^{r}\binom{m}{k}\binom{m}{r-k}$
-
C)
$\sum_{k=0}^{r}\binom{n}{k}\binom{m}{r}$
-
D)
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n}{r-k}$
-
E)
$\sum_{k=0}^{r}\binom{n}{k}\binom{m}{k}$
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Gabarito: alternativa A
Escolher $r$ militares de um total de $n$ homens e $m$ mulheres equivale a $\binom{n+m}{r}$. Separando por $k$ homens e $r-k$ mulheres, obtém-se $\sum_{k=0}^{r}\binom{n}{k}\binom{m}{r-k}$, que é exatamente a identidade de Vandermonde e vale $\binom{n+m}{r}$.
Análise combinatória — identidade de Vandermonde
Os determinantes são ferramentas com aplicação em diversas áreas de engenharia. Em engenharia de controle, é comum modelar sistemas de controle por meio de matrizes paramétricas. Os engenheiros podem avaliar o comportamento do sistema pelas raízes do polinômio dado pela igualdade $\det(A-\lambda I)=0$, em que $A$ é a matriz com os parâmetros do sistema; $\lambda$ é a variável a ser analisada, chamada de autovalores; e $I$ a matriz identidade com a mesma dimensão de $A$. Dada a equação abaixo, podemos afirmar que os valores de $\lambda$ que satisfazem a igualdade são:
$$\det\left(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}\right)=0$$
-
A)
$\lambda_{1}=1+2i$; $\lambda_{2}=1-2i$
-
B)
$\lambda_{1}=-2$; $\lambda_{2}=-2$
-
C)
$\lambda_{1}=1$; $\lambda_{2}=3$
-
D)
$\lambda_{1}=2$; $\lambda_{2}=2$
-
E)
$\lambda_{1}=1$; $\lambda_{2}=1$
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Gabarito: alternativa C
A matriz $A-\lambda I$ é $\begin{bmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{bmatrix}$, cujo determinante é $(2-\lambda)^2-1$. Igualando a zero: $(2-\lambda)^2=1$, logo $2-\lambda=\pm 1$, o que dá $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=3$.
Álgebra linear — cálculo de determinante 2×2 e autovalores (det(A − λI) = 0)
Em uma urna existem 10 bolas vermelhas, 06 bolas azuis e 08 bolas brancas. Todas as bolas são idênticas, exceto pela cor. Retirando as bolas da urna, uma a uma, por sorteio e sem reposição, é correto afirmar que:
-
A)
Retirando 11 bolas da urna, certamente uma das bolas sorteadas será vermelha.
-
B)
Retirando 3/4 das bolas da urna, certamente uma das bolas sorteadas será azul.
-
C)
A probabilidade de que as duas primeiras bolas sorteadas sejam brancas é maior que 1/10.
-
D)
A probabilidade de que as três primeiras bolas sorteadas tenham cores distintas é de 0,125.
-
E)
A probabilidade de que a primeira bola sorteada seja branca é de 1/4.
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Gabarito: alternativa C
São 24 bolas (10 vermelhas, 6 azuis, 8 brancas). A probabilidade de as duas primeiras serem brancas é $\frac{8}{24}\cdot\frac{7}{23}=\frac{56}{552}\approx 0,1014$, que é maior que $\frac{1}{10}=0,1$. As demais são falsas: com 11 bolas pode-se tirar apenas azuis e brancas (14 não-vermelhas); com 18 bolas (3/4) pode-se tirar todas as não-azuis (18); e a probabilidade da primeira ser branca é $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$, não $\frac{1}{4}$.
Probabilidade — eventos sucessivos sem reposição e princípio da casa dos pombos
Um cone circular reto de altura $H$ e raio $R$ deverá ser seccionado por um plano $\alpha$ paralelo à base. A secção determina dois sólidos de mesmo volume. Qual a distância entre $\alpha$ e o plano da base do cone?
-
A)
$\frac{\sqrt[3]{2}-1}{\sqrt[3]{2}}H$
-
B)
$\frac{\sqrt[3]{2}}{2}H$
-
C)
$\frac{\sqrt[3]{2}-1}{2}H$
-
D)
$\frac{\sqrt[3]{2}+1}{2}H$
-
E)
$\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}}H$
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Gabarito: alternativa A
O plano gera um cone menor (semelhante, com vértice no topo) e um tronco. Para que os dois sólidos tenham volumes iguais, o cone menor deve ter metade do volume total. Como os volumes de cones semelhantes variam com o cubo da razão de alturas, $\left(\frac{h}{H}\right)^3 = \frac{1}{2}$, logo $h = \frac{H}{\sqrt[3]{2}}$, onde $h$ é a altura do cone menor (medida a partir do vértice). A distância pedida, do plano até a base, é $H - h = H - \frac{H}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}-1}{\sqrt[3]{2}}H$. Portanto a alternativa correta é a primeira.
Geometria espacial — semelhança de cones (razão de volumes = cubo da razão linear)