Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para vir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e dois responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize somente carro?
-
A)
8,75%
-
B)
23,75%
-
C)
21,25%
-
D)
35%
-
E)
33,75%
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Gabarito: alternativa A
Quem usa somente carro = total de carro menos quem também usa outro meio. Subtraindo as duas interseções que envolvem carro e somando de volta o núcleo dos três (inclusão-exclusão): $28 - 12 - 14 + 5 = 7$. A probabilidade é $\frac{7}{80} = 0,0875 = 8,75\%$. A resposta é a alternativa A.
Teoria dos conjuntos — princípio da inclusão-exclusão e probabilidade clássica
Determine a distância real, em quilômetros, entre duas cidades que se encontram a 18 mm de distância em um mapa cuja escala é 1 : 5.000.000.
-
A)
0,9
-
B)
900
-
C)
9000
-
D)
9
-
E)
90
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Gabarito: alternativa E
A escala 1 : 5.000.000 significa que 1 unidade no mapa corresponde a 5.000.000 unidades na realidade. Assim, a distância real é $18\text{ mm} \times 5.000.000 = 90.000.000\text{ mm}$. Convertendo: $90.000.000\text{ mm} = 90.000\text{ m} = 90\text{ km}$. Logo, a alternativa correta é 90.
Escala cartográfica e conversão de unidades de comprimento
A soma dos possíveis valores de $x$ na equação $4^{x} = 6 \cdot 2^{x} - 8$ é:
-
A)
7
-
B)
6
-
C)
0
-
D)
3
-
E)
2
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Gabarito: alternativa D
Fazendo a substituição $u = 2^x$ (com $4^x = (2^x)^2 = u^2$), obtém-se $u^2 - 6u + 8 = 0$, cujas raízes são $u = 2$ e $u = 4$. Assim $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$ e $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$. A soma é $1 + 2 = 3$, correspondente à alternativa D.
Equação exponencial — substituição e equação do 2º grau
Um ponto $P$, de um sistema de coordenadas cartesianas, pertence à reta da equação $y = x - 2$. Sabe-se que o ponto $P$ é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto $Q(16, 0)$. Dessa maneira, um possível valor das coordenadas do ponto $P$ é:
-
A)
$P(9, 7)$
-
B)
$P(8, 10)$
-
C)
$P(12, 10)$
-
D)
$P(7, 9)$
-
E)
$P(10, 8)$
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Gabarito: alternativa E
Seja $P(x, x-2)$, pois $P$ está na reta $y = x - 2$. A distância de $P$ ao eixo das ordenadas (eixo $y$) é $|x|$, e a distância a $Q(16,0)$ é $\sqrt{(x-16)^2 + (x-2)^2}$. Igualando os quadrados: $x^2 = (x-16)^2 + (x-2)^2$, o que dá $x^2 - 36x + 260 = 0$, cujas raízes são $x = 10$ e $x = 26$. Para $x = 10$, $y = 8$, logo $P(10, 8)$.
Geometria analítica — distância de ponto a reta/eixo e entre pontos
O lucro de uma empresa é dado pela lei $L(x) = -x^2 + 8x - 7$, em que $x$ é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e $L$ é o lucro (em reais). Qual o valor do lucro máximo em reais?
-
A)
9000
-
B)
7000
-
C)
6000
-
D)
8000
-
E)
10000
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Gabarito: alternativa A
Como o coeficiente de $x^2$ é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e seu vértice fornece o valor máximo. A abscissa do vértice é $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4$. Substituindo: $L(4) = -16 + 32 - 7 = 9$. Como as quantidades estão em milhares, o lucro máximo corresponde a R$ 9000.
Função quadrática — valor máximo no vértice ($y_v = -\frac{\Delta}{4a}$)
A solução da inequação $|3x-10|\le 2x$ é dada por:
-
A)
$S=\emptyset$
-
B)
$S=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$
-
C)
$S=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le 2\ \text{ou}\ x\ge 10\}$
-
D)
$S=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le 10\}$
-
E)
$S=\{x\in \mathbb{R}\mid 2\le x\le 10\}$
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Gabarito: alternativa E
Uma inequação modular $|A|\le B$ exige $B\ge 0$ e equivale a $-B \le A \le B$. Assim, $-2x \le 3x-10 \le 2x$. Da parte esquerda, $-2x \le 3x-10 \Rightarrow -5x \le -10 \Rightarrow x \ge 2$; da parte direita, $3x-10 \le 2x \Rightarrow x \le 10$. A interseção é $2 \le x \le 10$ (que já satisfaz a condição $2x\ge0$).
Inequação modular — $|A|\le B \Leftrightarrow -B\le A\le B$
Se $(40, x, y, 5, \ldots)$ é uma progressão geométrica de razão $q$ e $(q, 8 - a, \frac{7}{2}, \ldots)$ é uma progressão aritmética, determine o valor de $a$.
-
A)
8
-
B)
$\frac{25}{4}$
-
C)
$\frac{23}{4}$
-
D)
6
-
E)
7
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Gabarito: alternativa D
Na PG, $a_4 = a_1 q^3$, então $5 = 40 q^3 \Rightarrow q^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \frac{1}{2}$. Na PA $\left(\frac{1}{2}, 8-a, \frac{7}{2}\right)$, o termo do meio é a média dos vizinhos: $8 - a = \frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Logo $a = 8 - 2 = 6$, correspondente à alternativa D.
PG (termo geral) e PA (propriedade do termo médio)
Dado o polinômio $p(x)=4x^{4}+3x^{5}-5x+x^{2}+2$, analise as informações a seguir:
I. O grau de $p(x)$ é 5.
II. O coeficiente de $x^{3}$ é 0.
III. O valor numérico de $p(x)$ para $x=-1$ é 9.
IV. Um polinômio $q(x)$ é igual a $p(x)$ se, e somente se, possui mesmo grau de $p(x)$ e os coeficientes são iguais.
É correto o que se afirma em:
-
A)
I, II e III apenas
-
B)
II, III e IV apenas
-
C)
I, II, III e IV
-
D)
I e II apenas
-
E)
III e IV apenas
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Gabarito: alternativa A
Reescrevendo, $p(x)=3x^{5}+4x^{4}+x^{2}-5x+2$. Em I, o maior expoente é 5, então o grau é 5 (verdadeira). Em II, não há termo em $x^3$, logo seu coeficiente é 0 (verdadeira). Em III, $p(-1)=3(-1)+4(1)+1+5+2=9$ (verdadeira). A afirmação IV é considerada incorreta pelo gabarito: a igualdade de polinômios é caracterizada apenas pela igualdade dos coeficientes dos termos de mesmo grau — a igualdade dos graus é consequência disso, não uma condição à parte, tornando a formulação imprecisa. Assim, correspondem apenas I, II e III, alternativa A.
Álgebra — polinômios: grau, coeficientes, valor numérico e igualdade de polinômios
A área da superfície de uma esfera é $144\pi~cm^{2}$. O volume da esfera é igual a:
-
A)
$72\pi~cm^{3}$
-
B)
$162\pi~cm^{3}$
-
C)
$216\pi~cm^{3}$
-
D)
$288\pi~cm^{3}$
-
E)
$2304\pi~cm^{3}$
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Gabarito: alternativa D
A área da superfície é $4\pi r^{2}=144\pi$, logo $r^{2}=36$ e $r=6~cm$. O volume é $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi (216)=288\pi~cm^{3}$.
Geometria espacial — área $4\pi r^2$ e volume $\frac{4}{3}\pi r^3$ da esfera
Mudando para a base 3 o $\log_{5} 7$, obtemos:
-
A)
$\log_{5} 3 / \log_{7} 3$
-
B)
$\log_{3} 7$
-
C)
$\log_{7} 3 / \log_{5} 3$
-
D)
$\log_{3} 5$
-
E)
$\log_{3} 7 / \log_{3} 5$
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Gabarito: alternativa E
Pela fórmula de mudança de base, $\log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$. Aplicando a $\log_{5} 7$ para a base 3: $\log_{5} 7 = \dfrac{\log_{3} 7}{\log_{3} 5}$. A resposta é a alternativa E.
Logaritmos — fórmula de mudança de base